Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0
（Ⅰ）求公差d的取值范圍；
（Ⅱ）指出S₁，S₂，…S_n中哪一個最大？說明理由；
（Ⅲ）指出

S1

a1

，

S2

a2

，…

Sn

an

中哪一個最大？說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差數(shù)列的前n項和的公式化簡分別得到①和②，然后利用等差數(shù)列的通項公式化簡a₃得到首項與公差的關系式，解出首項分別代入到①和②中得到關于d的不等式組，求出不等式組的解集即可得到d的范圍；
（2）由已知條件推導出S_n=

d

2

[n-

1

2

(5-

24

d

)]²-

d

2

[（5-

24

d

）]²，從而得到[n-

1

2

（5-

24

d

）]²最小時，S_n最大，由此能求出S₁，S₂，…S_n中，S₆最大．
（3）要求

S1

a1

，

S2

a2

，…

Sn

an

中最大的一項，必須先搞清楚那一項最大，由題意可知，數(shù)列的首項大于0，公差小于0，那么

Sn

an

中最大的一項應該為S_n最大，而a_n為正的最小的那一項，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）依題意，有S₁₂=12a₁+

12×11

2

•d＞0，
S₁₃=13a₁+

13×12

2

•d＜0，
即

2a1+11d＞0，① a1+6d＜0，②

，
由a₃=12，得a₁=12-2d，③，
將③式分別代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

，
解得∴-

24

7

＜d＜-3．
（2）S_n=na₁+

n(n-1)

2

d
=n（12-2d）+

1

2

n（n-1）d
=

d

2

[n-

1

2

(5-

24

d

)]²-

d

2

[（5-

24

d

）]²，
∵d＜0，∴[n-

1

2

（5-

24

d

）]²最小時，S_n最大，
當-

24

7

＜d＜-3時，6＜

1

2

(5-

24

d

)＜6.5，
∵正整數(shù)n=6時，[n-

1

2

（5-

24

d

）]²最小，
∴S₁，S₂，…S_n中，S₆最大．
（3）由題意可知，數(shù)列的首項a₁＞0，公差d＜0，
∴

Sn

an

中最大的一項應該為S_n最大，而a_n為正的最小的那一項，
∵a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0
∴a₆+a₇＞0，a₇＜0，∴d＜0，a₁＞0，∴{a_n}是一個遞減數(shù)列，
由（2）知當n=6時，S_n最大，a_n是{a_n}中最小的正數(shù)項，
∴

S6

a6

是

S1

a1

，

S2

a2

，…

Sn

an

中最大的一項．

點評：本題考查等差數(shù)列的公差的取值范圍的求法，考查數(shù)列的前n項和中最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．