Question

已知動點P到定點的距離與點P到定直線l：的距離之比為．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設M、N是直線l上的兩個點，點E與點F關(guān)于原點O對稱，若，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設點P坐標，再根據(jù)定點的距離與點P到定直線l：的距離之比為求得方程．
（2））先由點E與點F關(guān)于原點O對稱，求得E的坐標，再根據(jù)直線l的方程設M、N坐標，然后由，即6+y₁y₂=0．構(gòu)建，再利用基本不等式求得最小值．
解答：解：（1）設點P（x，y），
依題意，有．
整理，得．
所以動點P的軌跡C的方程為．
（2）∵點E與點F關(guān)于原點O對稱，
∴點E的坐標為．
∵M、N是直線l上的兩個點，
∴可設，（不妨設y₁＞y₂）．
∵，
∴．
即6+y₁y₂=0．即．
由于y₁＞y₂，則y₁＞0，y₂＜0．
∴．
當且僅當，時，等號成立．
故|MN|的最小值為．
點評：本小題主要考查橢圓、基本不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力