Question

9．已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=e^x•f'（x），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程；
（2）若對任意$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）試探究當$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，方程g（x）=x•f（x）的解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點（0，g（0））處的導(dǎo)數(shù)值，再求得g（0），然后利用直線方程的點斜式得切線方程；
（2）對任意$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，等價于[g（x）-x•f（x）]_min≥m，構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-x•f（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決．
（3）問題等價于m（x）=g（x）-xf（x）與x軸交點的個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點存在定理即可判斷．

解答 解：（1）∵f（x）=sinx，
∴g（x）=e^x•f'（x）=e^x•cosx，
∴g′（x）=e^xcosx-e^xsinx=e^x（cosx-sinx）．
∴g′（0）=e⁰（cos0-sin0）=1，又g（0）=e⁰cos0=1，
∴曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程為y=x+1；
（2）對任意$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，
等價于g（x）-x•f（x）≥m在$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$恒成立，
等價于[g（x）-x•f（x）]_min≥m，
令h（x）=g（x）-x•f（x）=e^x•cosx-xsinx，
∴h′（x）=e^xcosx-e^xsinx-sinx-xcosx
∵cosx≥0，sinx≤0，
∴h′（x）≥0，在[-$\frac{π}{2}$，0]上恒成立，
∴h（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上為增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$，
∴m≤-$\frac{π}{2}$
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{π}{2}$]；
（3）當$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，方程g（x）=x•f（x）的解的個數(shù)等價于方程g（x）
-xf（x）=0的解得個數(shù)等價于m（x）=g（x）-xf（x）與x軸交點的個數(shù)，
令m（x）=g（x）-xf（x），
∴m′（x）=e^xcosx-e^xsinx-sinx-xcosx=e^x（cosx+sinx）-sinx-xcosx，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴cosx-sinx＜0，xcosx＞0，sinx＞0，
∴m′（x）＜0，
∴m（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]為減函數(shù)，
∵m（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（${e}^{\frac{π}{4}}$-$\frac{π}{4}$）＞0，m（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴由零點存在定理可得m（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有且僅有一個零點，
即方程g（x）=x•f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有且僅有一個解

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了函數(shù)零點的判斷方法，屬于難題