正三角形ABC中D是BC上的點，∠ABD=60°，AB=4，BD=2，則
AB
•
AD
=
12
12
．
分析：根據(jù)題意得AD是BC邊上的中線，結合正三角形的性質得到AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，從而算出AD=2
3
且∠BAD=30°．再根據(jù)向量數(shù)量積的公式加以計算，可得
AB
•
AD
的值．
解答：解：∵正△ABC中，BC上的點滿足∠ABD=60°，AB=4，BD=2，
∴BD=
1
2
BC，可得AD是BC邊上的中線，
因此AD是正△ABC的BC邊上的高，即AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠ABD=30°，AD=
AB2-BD2
=2
3
．
可得
AB
•
AD
=
|AB|
•
|AD|
•cos∠BAD=4×2
3
×cos30°=12．
故答案為：12
點評：本題在邊長為4的等邊三角形中求向量的數(shù)量積，著重考查了向量的數(shù)量積公式、正三角形的性質和勾股定理等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知結論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC重心，則
AG
GD
=2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在正四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等，則
AO
OM
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)依次是AB，AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D，H，G為垂足，若將△ABC繞AD旋轉180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側面均是邊長為2的正方形，AA1⊥底面ABC，D是線段BB1的中點．
（1）求證：平面A1CD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C-A1D-C1的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•渭南三模）平面上：在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC的重心，則
AG
GD
=2；空間中：在正四面體ABCD中，若三角形BCD中心為M，正四面體ABCD中心為O，則
AO
OM
=
3
3
．

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