Question

（2012•棗莊二模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，側(cè)面均是邊長為2的正方形，AA₁⊥底面ABC，D是線段BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C-A₁D-C₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明DO⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定，可以證明平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A₁C₁D的法向量

n

=(-

3

，

3

，

2

)，平面A₁CD的一個(gè)法向量為

m

=(1，0，0)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：連接AC₁，設(shè)O=AC₁∩A₁C，連接OD
∵底面ABC為正三角形，側(cè)面均是邊長為2的正方形
∴DA=DA₁=DC=DC₁=

5

，OA=OA₁=OC=OC₁
∴DO⊥AC₁，DO⊥A₁C
∵AC₁∩A₁C=O
∴DO⊥平面AA₁C₁C，
∵DO?平面A₁CD 
∴平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OA₁，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則O﹙0，0，0﹚，A₁﹙0，

2

，0﹚，C₁﹙-

2

，0，0﹚D﹙0，0，

3

﹚則

A1C1

=(-

2

，-

2

，0)，

A1D

=(0，-

2

，

3

)
設(shè)平面A₁C₁D的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n

⊥

A1C1

，

n

⊥

A1D

，可得

- 2 x- 2 y=0 - 2 y+ 3 z=0

，取

n

=(-

3

，

3

，

2

)
又OA⊥平面A₁CD，則平面A₁CD的一個(gè)法向量為

m

=(1，0，0)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

6

4

∴二面角C-A₁D-C₁的正弦值為

10

4

．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確運(yùn)用向量法解決面面角問題，屬于中檔題．