【題目】已知橢圓的左右頂點分別為,左焦點為,已知橢圓的離心率為,且過點.

(1)求橢圓的方程;

(2)若過點的直線與該橢圓交于兩點,且線段的中點恰為點,且直線的方程;

(3)若經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點,記的面積分別為,求的取值范圍.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率公式將P代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;(2)利用點差法即可求出直線PQ的方程.(3)分類討論,設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及基本不等式的性質(zhì),即可求得|S1-S2|的取值范圍.

(1)因為e,則3a2=4b2,將(1,)代入橢圓方程: +=1,解得:a=2,b,所以橢圓方程為+=1;

(2)設(shè)PxP,yP),QxQ,yQ),∵線段PQ的中點恰為點N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2,

+=1, +=1,兩式相減可得xP+xQ)(xPxQ)+yP+yQ)(yPyQ)=0,∴=﹣,即直線PQ的斜率為﹣,∴直線PQ的方程為y﹣1=﹣x﹣1),即3x+4y﹣7=0.

(3)當(dāng)直線l無斜率時,直線方程為x=1,此時C(1,﹣),D(1,),△ABD,△ABC面積相等,|S1S2|=0,

當(dāng)直線l斜率存在(顯然k≠0)時,設(shè)直線方程為ykx﹣1),

設(shè)Cx1,y1),Dx2y2),聯(lián)立,消掉y得(3+4k2x2+8k2x+4k2﹣12=0,

顯然△>0,方程有根,且x1+x2x1x2,

此時|S1S2|=2|y2|﹣|y1|=2|y2+y1|=,

因為k≠0,則|S1S2|=,(k=±時等號成立)

所以|S1S2|的最大值為,則0≤|S1S2|≤,

∴|S1S2|的取值范圍[0,].

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