Question

已知橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)求·的取值范圍;

(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

Answer 1

 (1)解:由題意知e==,

∴e2===,

即a2=b2.

又b==,

∴b2=3,a2=4,

故橢圓的方程為+=1.

(2)解:由題意知直線l的斜率存在,

設(shè)直線l的方程為y=k(x-4).

由

得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.

由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,

得k2<.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則    (*)

∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,

∴·=x1x2+y1y2

=(1+k2)·-4k2·+16k2

=25-

∵0≤k2<,

∴-≤-<-,

∴·∈.

∴·的取值范圍是.

(3)證明:∵B、E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,

∴E(x2,-y2).

直線AE的方程為y-y1=(x-x1),

令y=0得x=x1-,

又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),

∴x=.

將(*)式代入得,x=1,

∴直線AE與x軸交于定點(diǎn)(1,0).