Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3．
（Ⅰ）當(dāng)a=4，2≤x≤5時(shí)，問(wèn)x分別取何值時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值和最小值，并求出相應(yīng)的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在R上恒為增函數(shù)，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x-3．
（1）2≤x＜4時(shí)，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_max=6．
（2）當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=12．
綜上所述，當(dāng)x=2或4時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=12．
（Ⅱ），
f（x）在R上恒為增函數(shù)的充要條件是，解得-2≤a≤2．
分析：（I）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x-3，利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，求出各段上的最值，比較后可得答案．
（II）若f（x）在R上恒為增函數(shù)，則函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別討論滿足條件的a值范圍，可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的最值及其幾何意義，其中在處理帶絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)時(shí)，一般采用零點(diǎn)分段法，將其化為分段函數(shù)再進(jìn)行處理．