Question

18．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F(xiàn)分別是線段DC和BC上的動點，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$的取值范圍是[-4，6]．

Answer 1

分析 依題意，設(shè)$\overrightarrow{EC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{CF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（-1≤μ≤0），由$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$，可求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$）=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{BC}}^{2}$=9λ+4μ；再由0≤λ≤$\frac{2}{3}$，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，從而可得答案．

解答 解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F(xiàn)分別是線段DC和BC上的動點，
∴$\overrightarrow{EC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{CF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（-1≤μ≤0），
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）•（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$）
=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{BC}}^{2}$
=9λ+4μ．
∵0≤λ≤$\frac{2}{3}$，∴0≤9λ≤6①，
又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，
①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$的取值范圍是[-4，6]，
故答案為：[-4，6]．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，設(shè)$\overrightarrow{EC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{CF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（-1≤μ≤0），并求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=9λ+4μ是關(guān)鍵，考查平面向量加法的三角形法與共線向量基本定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．