Question

如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB的中點(diǎn)，用坐標(biāo)法，證明：

3

4

（|AB|²+|BC|²+|AC|²）=|AD|²+|BE|²+|CF|²．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式

專題：直線與圓

分析：以B為原點(diǎn)，BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0），A（b，c），可得D(

a

2

，0)，F(xiàn)(

b

2

，

c

2

)，E(

a+b

2

，

c

2

)，由距離公式驗(yàn)證即可．

解答： 解：以B為原點(diǎn)，BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：
設(shè)C（a，0），A（b，c），則D(

a

2

，0)，F(xiàn)(

b

2

，

c

2

)，E(

a+b

2

，

c

2

)，
由左邊公式可得左邊=

3

4

(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=

3

4

(b2+c2+a2+a2-2ab+b2+c2)=

3

2

(a2+b2+c2-ab)
同理可得右邊=|AD|2+|BE|2+|CF|2=(b-

a

2

)2+c2+

(a+b)2

4

+

c2

4

+(a-

b

2

)2+

c2

4

=

3

2

(a2+b2+c2-ab)
∴

3

4

(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，建系是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．