Question

已知f（x）=（x+1）²+a，g（x）=-xe^x，若?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，分別求出最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，
∵g（x）=-xe^x，
∴g′（x）=-（1+x）e^x，
x＜-1時，g′（x）＞0，x＞-1時，g′（x）＜0，
∴x=-1時，g（x）_max=-

1

e

，
∵f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）_min=a，
∴a≤-

1

e

，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

1

e

]．
故答案為：（-∞，-

1

e

]．

點評：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，?：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max是關(guān)鍵．