Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分別為BD、PD的中點，EA=EB=AB=1，PA=2．
（Ⅰ）證明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）求面PBD與面AEF所成銳角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間向量及應用

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導出EF∥PB，由此能證明PB∥面AEF．
（Ⅱ）由題設(shè)條件推導出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，從而得到BA⊥AD．分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立坐標系，利用向量法能求出面PBD與面AEF所成銳角的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：∵E、F分別為BD、PD的中點，
∴EF∥PB…（2分）
∵EF?面AEF，PB?面AEF
∴PB∥面AEF…（4分）
（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1
∴∠ABE=60°
又∵E為BD的中點
∴∠ADE=∠DAE
∴2（∠BAE+∠DAE）=180°
解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…（6分）
∵EA=EB=AB=1，∴AD=

3

，
分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立坐標系
由題設(shè)條件知：B(1，0，0)，D(0，

3

，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，

3

2

，1)，E(

1

2

，

3

2

，0)
∴

PB

=(1，0，-2)，

PD

=(0，

3

，-2)，

AE

=(

1

2

，

3

2

，0)，

AF

=(0，

3

2

，1)…（8分）
設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)、

n2

=(x2，y2，z2)分別是面PBD與面AEF的法向量
則

x1-2z1=0 3 y1-2z1=0

，∴

n1

=(2，

2 3

3

，1)
又

3 2 y2+z2=0 1 2 x2+ 3 2 y2=0

，∴

n2

=(-

3

，1，-

3

2

)…（11分）
∴|cos?

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

11

19

．
∴面PBD與面AEF所成銳角的余弦值為

11

19

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．