Question

已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線Γ：y²=2px上．
（1）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，求

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

的值；
（2）若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記四邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，求

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

-

1

k4

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的斜率

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把點(diǎn)A（1，2）代入拋物線Γ：y²=2px上，可得p=2．即可得到拋物線Γ的方程為：y²=4x．設(shè)B(

y 2 1

4

，y1)，C(

y 2 2

4

，y2)．利用斜率計(jì)算公式即可得出

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

．
（2）設(shè)D(

y 2 3

4

，y3)，利用向量計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（1，2）在拋物線Γ：y²=2px上，∴2²=2p×1，解得p=2．
∴拋物線Γ的方程為：y²=4x．
設(shè)B(

y 2 1

4

，y1)，C(

y 2 2

4

，y2)．
∴k1=

y1-2

y 2 1 4 -1

=

4

y1+2

，k2=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

，k₃=

y2-2

y 2 1 4 -1

=

4

y2+2

．
∴

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

=

y1+2

4

-

y1+y2

4

+

y2+2

4

=1．
（2）設(shè)D(

y 2 3

4

，y3)，
則

1

k1

-

1

k2

+

1

k3

-

1

k4

=

y1+2

4

-

y1+y2

4

+

y2+y3

4

-

y3+2

4

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，屬于難題．