如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=60º, M為AB邊上不與端點重合的動點,且CM與DA分別延長后交于點N,若以菱形的對角線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,并設BM=2t (0<t<1).

(1)試用t表示,并求它們所成角的大;

(2)設f(t)=·,g(t)=at+4-2a(a>0),分別根據(jù)以下條件,求出實數(shù)的取值范圍:

①存在t1,t2∈(0,1),使得=g(t2);

②對任意t1∈(0,1),恒存在t2∈(0,1),使得=g(t2).

 

(1);(2)①;②

【解析】

試題分析:(1)過點作坐標軸的垂線段,由菱形的邊長為2,,邊上不與端點重合的動點,,可得點的坐標,進而可得向量的坐標,由,可得的長,進而得到點坐標,可得向量的坐標,結合向量夾角公式,可得他們的夾角;(2)由(1)可得的解析式,分別求出兩個函數(shù)的值域;①若存在,使得成立,則只要兩函數(shù)的值域存在公共元素即可,②對任意,恒存在,使得成立,則時,函數(shù)必取遍函數(shù)值域中的所有值,此即,從而可得取值范圍.

試題解析:(1) 過點M作坐標軸的垂線段,則依題設易求得

M點的坐標為:M(, 1-t) ⇒=(, 1-t),··· ⑴

依題設知:△ABD為正三角形,故=(0, -1),由此知:

=(, 2-t),······ ⑵

又依題設知:△BCM∽△ANM ⇒ ⇒ AN=,又∠NAx=30º,

以求得,yN=AN·sin30º=,且xN=+AN·cos30º=,由此可得:=(,),

=(0, 1),⇒ =(,).······ ⑶

由⑵,⑶兩式得:·=2(),且||||=4().

故cos<,>=,又<,>∈[0,π] ⇒ <,>=60º為所求.

(2)由(1)知:f(t)=2(),且由0<t<1知:f(t)>2⇒函數(shù)y=的值域為A=(0,1).

另由a>0知:函數(shù)y=g(t),t1∈(0,1)的值域為:B=(4-2a,4-a).

①若存在t1,t2∈(0,1),使得=g(t2) 成立,則只要兩函數(shù)的值域A=(0,1)與B=(4-2a,4-a)

存在公共元素即可.此時A與B間的關系有以下三種可能:

(1) A⊆B時,則必 ⇒ 2≤a≤3;

(2) A∩B≠ 時,則0<4-2a<1,或0<4-a<1,⇒<a<2,或3<a<4;

(iii) B⊆A時,則必 ⇒a無解. 綜上,<a<4,為所求.

②對任意t1∈(0,1),恒存在t2∈(0,1),使得=g(t2)成立,則t∈(0,1)時,函數(shù)y=g(t)必取遍函數(shù)y=值域A=(0,1) 中的所有值,此即A⊆B,故由①知:2≤a≤3為所求.

考點:函數(shù)的圖象和性質,平面向量共線,夾角,數(shù)量積.

 

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B.

C.

D.

 

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