Question

16．設(shè)在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E，F(xiàn)依次為CC₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁B與EF所成角θ的大小；
（2）求直線EF與平面ABC所成角大小；
（3）求點(diǎn)C到平面AEF的距離．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與EF所成角的大小．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（1，-1，-1），利用向量的夾角公式，求直線EF與平面ABC所成角大��；
（3）求出平面AEF的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面AEF的距離．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E、F依次為CC₁和BC的中點(diǎn)，
∴A₁（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），
F（1，1，0），E（0，2，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（1，-1，-1），
設(shè)異面直線A₁B與EF所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴異面直線A₁B與EF所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）直線EF與平面ABC所成角為∠EFC，tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線EF與平面ABC所成角大小arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AF}$=（1，1，0），
設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴點(diǎn)C到平面AEF的距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角、直線與平面所成角的大小的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．