Question

△ABC中，

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，M為其內部一點，且△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為

1

2

，x，y，則

1

x

+

4

y

的最小值為（　�。�

• A、20
• B、19
• C、16
• D、18

Answer 1

考點：基本不等式,平面向量數(shù)量積的運算

專題：不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：利用向量的數(shù)量積定義可得bc=4，進而得到△ABC的面積，原式x+y=

1

2

．再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，∴cbcos30°=2

3

，∴bc=4．
∴S_△ABC=

1

2

bcsin30°=

1

2

×4×

1

2

=1．
∴

1

2

+x+y=1．
∴x+y=

1

2

．
∵x＞0，y＞0．
∴

1

x

+

4

y

=2（x+y）(

1

x

+

4

y

)=2(5+

y

x

+

4x

y

)≥2(5+2

y x • 4x y

)=18，當且僅當y=2x=

1

3

時取等號．
∴則

1

x

+

4

y

的最小值為18．
故選：D．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積定義、三角形的面積計算公式、“乘1法”和基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．