Question

19．記max{m，n}表示m，n中的最大值，如max$\left\{{3，\sqrt{10}}\right\}=\sqrt{10}$．已知函數(shù)f（x）=max{x²-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．
（1）求函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{2}，1}]$上的值域；
（2）試探討是否存在實數(shù)a，使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=x²-1-lnx，對其求導(dǎo)，及最小值，從而得到f（x）的解析式，進一步求值域即可．
（2）分別對a≤0和a＞0兩種情況進行討論，得到g（x）的解析式，進一步構(gòu)造h（x），通過求導(dǎo)得到最值，得到滿足條件的a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)$F（x）={x^2}-1-2lnx，F(xiàn)'（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{{2（{x-1}）（{x+1}）}}{x}$，…（1分）
令F'（x）＞0，得x＞1，F(xiàn)（x）遞增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F(xiàn)（x）遞減，…（2分）
∴F（x）_min=F（1）=0，∴F（x）≥0，…（3分）
即x²-1≥2lnx，∴f（x）=x²-1…（4分）
故函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的值域為$[{-\frac{3}{4}，3}]$…（5分）
（2）①當a≤0時，
∵x∈（1，+∞），∴x+lnx-（ax²+x）=lnx-ax²＞0，∴x+lnx＞ax²+x，∴g（x）=x+lnx…（6分）
若$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$，對x∈（1，+∞）恒成立，則$lnx-\frac{1}{2}x＜4a$對x∈（1，+∞）恒成立，
設(shè)$h（x）=lnx-\frac{1}{2}x$，則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，
令h'（x）＞0，得1＜x＜2，h（x）遞增；令h'（x）＜0，得x＞2，h（x）遞減．
∴h（x）_max=h（2）=ln2-1，∴4a＞ln2-1，∴$a＞\frac{ln2-1}{4}$，∵a≤0，∴$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，0}]$…（9分）
②當a＞0時，由（1）知$x+lnx＜\frac{3}{2}x+4a$，對x∈（1，+∞）恒成立，
若$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對x∈（1，+∞）恒成立，則$a{x^2}+x＜\frac{3}{2}x+4a$對x∈（1，+∞）恒成立，
即2ax²-x-8a＜0對x∈（1，+∞）恒成立，這顯然不可能．
即當a＞0時，不滿足$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對x∈（1，+∞）恒成立，…（11分）
故存在實數(shù)a，使得$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對x∈（1，+∞）恒成立，且a的取值范圍為$（{\frac{ln2-1}{4}，0}]$…（12分）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進一步求最值，及函數(shù)恒成立問題，屬于難題．