Question

3．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為邊AA₁的中點(diǎn)，P為側(cè)面BCC₁B₁上的動(dòng)點(diǎn)，且A₁P∥平面CED₁．則點(diǎn)P在側(cè)面BCC₁B₁軌跡的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取C₁D₁，C₁C的中點(diǎn)G，F(xiàn)，根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理，可得平面A₁GFB∥平面CED₁，故A₁P∥平面CED₁時(shí)，P在側(cè)面BCC₁B₁的軌跡是線段BF，進(jìn)而利用勾股定理，可得答案．

解答 解：取C₁D₁，C₁C的中點(diǎn)G，F(xiàn)，

連接A₁G、FG，BF，A₁B，
∵GF∥D₁C，GF?平面CED₁，GF∥平面CED₁，
BF∥D₁E，BF?平面CED₁，BF∥平面CED₁，
∵BF，GF是平面A₁GFB內(nèi)的相交直線，
∴平面A₁GFB∥平面CED₁，
故A₁P∥平面CED₁時(shí)，
P在側(cè)面BCC₁B₁的軌跡是線段BF，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
故BF=$\sqrt{5}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，難度中檔．