(1)設(shè)函數(shù)f(x)=-cos2x-4tsin
x
2
cos
x
2
+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,將f(x)的最小值記為g(t).
①求g(t)的表達(dá)式;
②討論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.
(2)已知f (x)=ax-x3
①若f(x)在區(qū)間(0,
2
2
)內(nèi)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②若f(x)的極小值為2,求實(shí)數(shù)a的值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)①f(x)=sin2x-2tsin2x+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3,由于|t|≤1,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出g(t);
②g′(t)=12t2-3=12(t+
1
2
)(t-
1
2
)
.t∈(-1,1).分別令g′(t)>0,令g′(t)<0,解得即可得出,進(jìn)而判斷出極值.
(2)①f′(x)=a-3x2,由于f (x)=ax-x3在區(qū)間(0,
2
2
)內(nèi)是增函數(shù),可得f′(x)≥0在區(qū)間(0,
2
2
)內(nèi)恒成立(不恒等于0),即a-3x2≥0,通過分離參數(shù)即可得出.
②f′(x)=a-3x2,對(duì)a分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出.
解答: 解:(1)①f(x)=sin2x-2tsin2x+4t3+t2-3t+3
=(sinx-t)2+4t3-3t+3
∵|t|≤1,
∴當(dāng)sinx=t時(shí),f(x)取得最小值,∴g(t)=4t3-3t+3.
②g′(t)=12t2-3=12(t+
1
2
)(t-
1
2
)
.t∈(-1,1).
令g′(t)>0,解得-1<t<-
1
2
,或
1
2
<t<1
;令g′(t)<0,解得-
1
2
<t<
1
2

∴函數(shù)g(t)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,-
1
2
)
,(
1
2
,1)
;單調(diào)遞減為(-
1
2
1
2
)

∴當(dāng)x=-
1
2
時(shí),g(t)取得極大值,g(-
1
2
)
=4;
當(dāng)x=
1
2
時(shí),g(t)取得極小值,g(
1
2
)
=2.
(2)①f′(x)=a-3x2,
∴f (x)=ax-x3在區(qū)間(0,
2
2
)內(nèi)是增函數(shù),
∴f′(x)≥0在區(qū)間(0,
2
2
)內(nèi)恒成立(不恒等于0),
∴a-3x2≥0,
即a≥(3x2max,x∈(0,
2
2
).
a≥
3
2

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[
3
2
,+∞)

②f′(x)=a-3x2
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≤0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,無極值;
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=-3(x+
a
3
)(x-
a
3
)
,
令f′(x)>0,解得x>
a
3
x<-
a
3
,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;令f′(x)<0,解得-
a
3
<x<
a
3
,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=
a
3
時(shí),f(x)取得極小值為2,
a
a
3
-(
a
3
)3
=2,
化為a
a
3
=3,
解得a=3.
∴a=3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值,考查了分類討論的思想方法,考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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2
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函數(shù)f(x)=
log2x,x>0
-2x+a,x≤0
有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是( 。
A、a<0
B、0<a<
1
2
C、
1
2
<a<1
D、a≤0或a>1

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f(x)
x
=
f(x-1)
x-1
,則f(
3
2
)的值是( 。
A、
3
2
B、1
C、
1
2
D、0

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A、α+β=
π
2
B、β-α=
π
2
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