設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+
1
an
（n=1，2…），求證：an＞
2n+1
對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
考點(diǎn)：數(shù)列遞推式
專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
解答： 證明：①n=1時(shí)，a1=2＞
3
成立；
②設(shè)n=k時(shí)成立，即ak＞
2k+1
，設(shè)ak2=（2k+1）+m
則ak+1=
ak2+1
ak
=
2(k+1)+1+(m-1)
2(k+1)+1+(m-2)
＞
2(k+1)+1
2(k+1)+1
=
2(k+1)+1

即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
由①②可得an＞
2n+1
對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=1，對(duì)所有的n≥2都有a1•a2•a3•…•an=n2．
（1）求a3+a5；
（2）
256
225
是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，應(yīng)是第幾項(xiàng)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是（　　）
A、6B、9C、18D、36

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

經(jīng)過(guò)雙曲線x2-y2=1左焦點(diǎn)F1做傾角為30°的弦AB，求△F2AB的周長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=-cos2x-4tsin
x
2
cos
x
2
+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
①求g（t）的表達(dá)式；
②討論g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．
（2）已知f （x）=ax-x3
①若f（x）在區(qū)間（0，
2
2
）內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②若f（x）的極小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln2x-2alnx+a2-1．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，e]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）＞a2對(duì)任意x∈（e，e2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB于點(diǎn)E，EF⊥PC于點(diǎn)F．
（1）求證：AF⊥PC；
（2）設(shè)平面AEF交PD于點(diǎn)G，求證：AG⊥PD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（α）=
cos(
π
2
+α)sin(-π-α)
cos(
11π
2
-α)sin(
9π
2
+α)
．
（1）已知角α終邊上的一點(diǎn)為P（-4，3），求f（α）的值；
（2）若α是第三象限角，且cos（
3π
2
-α）=
1
5
，求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（-3，4），
b
=（5，2），求|
a
|，|
b
|的值．

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