Question

如圖，已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：的上、下焦點(diǎn)，其中F₁也是拋物線C₂：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是曲線C₁，C₂在第二象限的交點(diǎn)，且

（Ⅰ）求橢圓₁的方程；
（Ⅱ）已知P是橢圓C₁上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓C：的直徑，求的最大值和最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。

試題分析：（Ⅰ）拋物線C₂的焦點(diǎn)F₁（0，1），準(zhǔn)線，易得 ∴ 
∴  （正值舍去）∴              3分
又 ………①   …………②            5分
聯(lián)立①②得∴橢圓C₁的方程為              6分
（Ⅱ）圓C：    ∴圓心C（-2，0），半徑
設(shè)P（）              7分
法一：               9分


        11分
當(dāng)時(shí)，           12分
當(dāng)時(shí)，       13分
法二：設(shè)M（），則N（）            8分

      
           11分
當(dāng)時(shí)，           12分
當(dāng)時(shí)，         13分
法三：              8分
     
∵C是MN中點(diǎn)，∴          9分
∴               10分
∴
            11分
當(dāng)時(shí)，              12分
當(dāng)時(shí)，             13分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題，確定最值。