Question

求函數(shù)f（x）=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值及相對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=t，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得t∈[-

2

，

2

]，結(jié)合sinx•cosx=

t2-1

2

，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題．

解答：解：令sinx+cosx=t，
則t=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]且sinx•cosx=

t2-1

2

…4分
∴y=

t2-1

2

+t=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1…6分
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為t=-1，∴t=

2

時(shí)，ymax=

2 2 +1

2

此時(shí)

2

sin(x+

π

4

)=

2

∴sin(x+

π

4

)=1
∴x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z…8分
∴x=2kπ+

π

4

，k∈Z…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，其中將函數(shù)的解析式利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式是解答本題的關(guān)鍵．