Question

12．證明：函數(shù)y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$滿足關(guān)系式y(tǒng)³y″+1=0．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則先求導(dǎo)，再求導(dǎo)，代值計(jì)算即可．

解答 證明：y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=（2x-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴y′=$\frac{1}{2}$（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$（2x-x²）′=（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$（1-x），
∴y″=-$\frac{1}{2}$（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$（2-2x）•（1-x）-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$=-（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$•（1-x）²-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
∴y³y″+1=[-（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$•（1-x）²-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$]•（2x-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$+1=-（1-x）²-2x+x²+1=-1-x²+2x-2x+x²+1=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．