【題目】已知圓過點(diǎn),且圓心在直線上,過點(diǎn)的直線交圓兩點(diǎn),過點(diǎn)分別做圓的切線,記為.

Ⅰ)求圓的方程;

Ⅱ)求證:直線的交點(diǎn)都在同一條直線上,并求出這條直線的方程.

【答案】;(Ⅱ)直線的交點(diǎn)都在直線同一條直線上,且直線方程為.

【解析】

(Ⅰ)設(shè)圓的方程為

的中點(diǎn),又的垂直平分線的方程

因?yàn)閳A心的垂直平分線與直線的交點(diǎn),由,得,即圓心

又半徑,即可得到圓的方程;

Ⅱ)設(shè),直線的交點(diǎn)

為直線上任意一點(diǎn),則,

,即處的圓的切線方程

同理可得,在點(diǎn)處的圓的切線方程為

由直線過點(diǎn)可推出點(diǎn)滿足方程

即直線的方程為 ,

直線過點(diǎn)

由此可得到直線的交點(diǎn)都在直線同一條直線上,且直線方程為.

(Ⅰ)設(shè)圓的方程為

的中點(diǎn)

的垂直平分線的方程:

圓心的垂直平分線與直線的交點(diǎn)

∴由,得,即圓心

又半徑

∴圓的方程為

Ⅱ)設(shè),直線的交點(diǎn)

為直線上任意一點(diǎn),則

,

,即處的圓的切線方程

同理可得,在點(diǎn)處的圓的切線方程為

由直線過點(diǎn)

,,

∴點(diǎn)滿足方程

即直線的方程為 ,

直線過點(diǎn)

,即

∴直線的交點(diǎn)都在直線同一條直線上,且直線方程為.

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