Question

已知斜率為的直線l過點(diǎn)（0，-2）和橢圓C：+=1 （a＞b＞0）的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P，Q，R都在橢圓C上，PQ、PR分別過點(diǎn)M₁（-1，0）、M₂（1，0），設(shè)=λ，=μ，當(dāng)P點(diǎn)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問λ+μ是否為定值，并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)斜式即可得出直線l的方程，令y=0即可得出橢圓的焦點(diǎn)（c），利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，利用準(zhǔn)線方程x=即可得出a，再利用b²=a²-c²即可；
（2）設(shè)P（x，y），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）當(dāng)x=x₁=-1時(shí)，ii）當(dāng)x=x₂=-1時(shí)，容易得出λ+μ的值為定值；
iii）當(dāng)x≠x₁且x≠x₂時(shí)，利用向量運(yùn)算及相等可得x₁，y₁與x，y及λ的關(guān)系，同理得到x₂，y₂與x，y及μ的關(guān)系，再代入橢圓的方程即可得出．
解答：解：（1）由題意可得直線，令y=0，解得x=2，∴c=2．
∴橢圓的焦點(diǎn)為（±2，0），
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），
則，解得x=3，即，a²=6，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓的方程為．
（2）設(shè)P（x，y），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）當(dāng)x=x₁=-1時(shí)，，，
ii）同理當(dāng)x=x₂=-1時(shí)，
iii）當(dāng)x≠x₁且x≠x₂時(shí)，
由題意得
代入橢圓方程，即，
又，有，
即5λ²-（2x+2）λ+2x+7=0（5λ-2x-7）（λ-1）=0，
同理可得，
∴．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)適合題意的方程、向量的運(yùn)算與相等等是解題的關(guān)鍵．