Question

在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝2，E是棱CD上的一點(diǎn)．

(1)求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；

(2)求證：B₁E⊥AD₁；

(3)若E是棱CD的中點(diǎn)，在棱AA₁上是否存在點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

[解析]　(1)證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

因?yàn)?i>A₁B₁⊥平面A₁D₁DA，

所以A₁B₁⊥AD₁.

在矩形A₁D₁DA中，因?yàn)?i>AA₁＝AD＝2，所以AD₁⊥A₁D.

所以AD₁⊥平面A₁B₁D.

(2)證明：因?yàn)?i>E∈CD，

所以B₁E⊂平面A₁B₁CD，

由(1)可知，AD₁⊥平面A₁B₁CD，

所以B₁E⊥AD₁.

(3)解：當(dāng)點(diǎn)P是棱AA₁的中點(diǎn)時(shí)，有DP∥平面B₁AE.

理由如下：

在AB₁上取中點(diǎn)M，連接PM，ME.

因?yàn)?i>P是棱AA₁的中點(diǎn)，M是AB₁的中點(diǎn)，

所以PM∥A₁B₁，且PM＝A₁B₁.

又DE∥A₁B₁，且DE＝A₁B₁，

所以PM∥DE，且PM＝DE，

所以四邊形PMED是平行四邊形，所以DP∥ME.

又DP⊄平面B₁AE，ME⊂平面B₁AE，

所以DP∥平面B₁AE.此時(shí)，AP＝A₁A＝1.