Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+t，g（x）=x2﹣t（t∈R）
（1）當x∈[2，3]時，求函數(shù)f（x）的值域（用t表示）
（2）設集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整數(shù)t，使得A∩B=A．若存在，請求出所有可能的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x﹣1）2+t﹣1，x∈[2，3]，

對稱軸x=1，f（x）在[2，3]遞增，

∴x=2時，f（x）最小，f（2）=t，

x=3時，f（x）最大，f（3）=t+3，

∴f（x）的值域是[t，t+3]；

（2）解：由（1）得：A=[t，t+3]，B即為|g（x）|的值域，

∵A∩B=A，∴AB，

∵g（x）=x2﹣t，x∈[2，3]，

假設存在正整數(shù)t符合要求，

①當1≤ ≤2時，即1≤t≤4時，

|g（x）|的值域是B=[4﹣t，9﹣t]，

由4﹣t≤t＜t+3≤9﹣t，

∴2≤t≤3，

∴t=2或3，

②當2＜ ＜3時，即4＜t＜9時：

|g（x）|的值域B=[0，M]，其中M=max{﹣f（2），f（3）}=max{t﹣4，9﹣t}，

顯然當4＜t＜9時，t+3＞t﹣4且t+3＞9﹣t，不符舍去，

③當 ≥3即t≥9時，

|g（x）|的值域是B=[t﹣9，t﹣4]，

由t﹣9≤t+3≤t﹣4，解集為空，

綜上t=2或3．

【解析】（1）通過配方求出f（x）的值域；（2）求出集合A，通過討論t的范圍，求出集合B，解不等式求出t的值即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．