【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC，DF相交于點(diǎn)G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：
（1）若動(dòng)點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G⊥D F．

【答案】
（1）解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F(xiàn)（2，0）．

設(shè)M（x，y），由題意知|MD|=2|MC|

∴

兩邊平方化簡(jiǎn)得：即（x﹣4）2+（y﹣1）2=4

即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓心（4，1），半徑為2的圓，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π


（2）證明：由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x﹣3y=0，

由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y﹣2=0，

由 得 ，故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），故kEG=2，kDF=﹣

所以kEGkDF=﹣1，即證得：EG⊥DF


【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，即可求出圍成區(qū)域的面積；（2）求出直線AC，DF的方程，可得G的坐標(biāo)，計(jì)算kEGkDF=﹣1，即可得到結(jié)論．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，底面為菱形， ， ， 與相交于點(diǎn)，四邊形為直角梯形， ， ， ，平面底面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，其中M（ ，2），N（ ，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a= ，c=3，f（ ）= ，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)有關(guān)x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0．
（1）若a是從1，2，3這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求AB邊上的高線所在的直線方程；
（2）求三角形ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，有如下兩個(gè)命題：q：若m⊥α，n⊥β且m∥n，則α∥β；q：若m∥α，n∥β且m∥n，則α∥β．（ ）
A.命題q，p都正確
B.命題p正確，命題q不正確
C.命題q，p都不正確
D.命題q不正確，命題p正確

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+t，g（x）=x2﹣t（t∈R）
（1）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域（用t表示）
（2）設(shè)集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整數(shù)t，使得A∩B=A．若存在，請(qǐng)求出所有可能的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知為定直線上一點(diǎn).

①過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；

②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn ， {bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ， n∈N* ， 是否存在實(shí)數(shù)p，q，r，對(duì)于任意n∈N* ， 都有Tn=pan+qbn+r，若存在求出p，q，r的值，若不存在說(shuō)明理由．

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