Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）證明：數(shù)列{ Sn}是等差數(shù)列，并求Sn；
（2）設(shè)bn= ，求證：b1+b2+…+bn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），

∴n≥2時(shí)，有an=Sn﹣Sn﹣1，

∴Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），

∴（n2﹣1）Sn=n2Sn﹣1+n（n﹣1），

∴ = +1，

∴ = +1，

又 = =1，

∴數(shù)列{ Sn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

∴ =1+（n﹣1）×1=n，

∴Sn=n× =

（2）證明：bn= = = = ，

∴b1+b2+…+bn= （ ）

=

=

= ．

∴b1+b2+…+bn＜

【解析】（1）由已知條件得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），從而 = +1，由此能證明數(shù)列{ Sn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而得到Sn=n× = ．（2）由bn= = = = ，利用裂項(xiàng)求和法能證明b1+b2+…+bn＜ ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)，掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．