Question

20．已知數(shù)列的前n項和S_n=-2n²+16n+3．
（1）寫出該數(shù)列的前三項；
（2）判斷-38是否在該數(shù)列中；
（3）確定S_n何時有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用數(shù)列的前n項和S_n=-2n²+16n+3，能求出該數(shù)列的前三項．
（2）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用數(shù)列的前n項和S_n=-2n²+16n+3，求出a_n，由此能判斷-38是否在該數(shù)列中．
（3）利用配方法得到S_n=-2n²+16n+3=-2（n-4）²+35，由此能求出S_n的最大值．

解答 解：（1）∵數(shù)列的前n項和S_n=-2n²+16n+3，
∴a₁=S₁=-2×1²+16×1+3=17，
a₂=S₂-S₁=（-2×2²+16×2+3）-（-2×1²+16×1+3）=10，
a₃=S₃-S₂=（-2×3²+16×3+3）-（-2×2²+16×2+3）=6．
（2）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=[（-2n²+16n+3）-[-2（n-1）²+16（n-1）+3]=18-4n，
當n=1時，18-4n=14≠a₁，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{17，n=1}\\{18-4n，n≥2}\end{array}\right.$，
令18-4n=-38，解得n=14，
∴-38是在該數(shù)列中，是該數(shù)列的第14項．
（3）∵S_n=-2n²+16n+3=-2（n-4）²+35，
∴當n=4時S_n有最大值，最大值是35．

點評 本題考查數(shù)列的前3項的求法，考查數(shù)列中某一項的判斷，考查數(shù)列的前n項和的最大值的判斷和求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理運用．