Question

19．把曲線C：y=sin（$\frac{3π}{4}$-x）•cos（x+$\frac{π}{4}$）上所有點向右平移a（a＞0）個單位，得到曲線C′，且曲線C′關于點（0，0）中心對稱，當x∈[$\frac{b+1}{8}$π，$\frac{b+1}{4}$π]（b為正整數(shù)）時，過曲線C′上任意兩點的直線的斜率恒小于零，則b的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 1或2

Answer 1

分析 運用二倍角的正弦公式和誘導公式，可得y=$\frac{1}{2}$cos2x，再由平移和中心對稱可得y=±$\frac{1}{2}$sin2x，求得函數(shù)的導數(shù)，由有余弦函數(shù)的圖象可得減區(qū)間，再由b為整數(shù)，即可得到b=1或2．

解答 解：y=sin（$\frac{3π}{4}$-x）•cos（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，
由題意可得曲線C′：y=$\frac{1}{2}$cos（2x-2a），
曲線C′關于點（0，0）中心對稱，可得
2a=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N，
即有y=±$\frac{1}{2}$sin2x，
由y=$\frac{1}{2}$sin2x的導數(shù)為y′=cos2x，
由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]．
當x∈[$\frac{b+1}{8}$π，$\frac{b+1}{4}$π]（b為正整數(shù)），
過曲線C′上任意兩點的直線的斜率恒小于零，
即有y′＜0恒成立，可得[$\frac{b+1}{4}$π，$\frac{b+1}{2}$π]⊆[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
即有b=1或2；
由y=-$\frac{1}{2}$sin2x的導數(shù)為y′=-cos2x，
由-cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+$\frac{3π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{2}$]．
當x∈[$\frac{b+1}{8}$π，$\frac{b+1}{4}$π]（b為正整數(shù)），
過曲線C′上任意兩點的直線的斜率恒小于零，
即有y′＜0恒成立，
則[$\frac{b+1}{4}$π，$\frac{b+1}{2}$π]⊆[2kπ+$\frac{3π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{2}$]不恒成立．
綜上可得b=1或2．
故選：D．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查三角函數(shù)的恒等變換和圖象變換，考查運算能力，屬于中檔題．