Question

9．為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表，平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖．已知在這30人中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖的學(xué)生的概率為$\frac{4}{15}$．

	常喝	不常喝	合計(jì)
肥胖		2
不肥胖		18
合計(jì)			30

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整．能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？說明你的理由．
（2）現(xiàn)從常喝碳酸飲料的學(xué)生中抽取3人參加電視節(jié)目，記ξ表示常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣原理求出常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生數(shù)x，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照數(shù)表得出概率結(jié)論；
（2）求出ξ可能取值以及對應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生有x人，
則$\frac{x+2}{30}$=$\frac{4}{15}$，解得x=6；
列聯(lián)表如下：

	常喝	不常喝	合計(jì)
肥胖	6	2	8
不肥胖	4	18	22
合計(jì)	10	20	30

由已知數(shù)據(jù)可得k=$\frac{30（6×18-2×4）2}{10×20×8×22}$≈8.523＞7.879，
因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)；…（5分）．
（2）由題意知ξ可能取值為0，1，2，3，
則有$P（ξ=0）=\frac{C_6^0C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_6^3C_4^0}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$；
ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為$Eξ=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$．   …（12分）．

點(diǎn)評 本題考查了分層抽樣原理以及利用列聯(lián)表計(jì)算觀測值的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望值的計(jì)算問題，是綜合性題目．