如圖四棱錐P-ABCD的底面是梯形,BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,平面PAC⊥平面ABCD.
(1)求證:AP⊥CD;
(2)當(dāng)PA=PC=
6
2
時(shí),求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.
考點(diǎn):異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)運(yùn)用等腰梯形的知識(shí)可得CD⊥AC,再由面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直,進(jìn)而得到線線垂直;
(2)由面面垂直的性質(zhì)定理可得PM⊥平面ABCD,過D作DH⊥平面PBC,垂足為H,連接CH,則∠DCH即為直線PD與平面PBC所成角.再由VP-BCD=VD-PBC,運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可得到DH,再解直角三角形即可得到正弦值.
解答: (1)證明:在等腰梯形ABCD中,由于AB在AD上的射影長(zhǎng)為
1
2

則∠BAD=60°,即有∠D=60°,∠ABC=120°,
則∠ACB=30°,∠ACD=90°,
即有CD⊥AC,
由于平面PAC⊥平面ABCD,則CD⊥平面PAC,
則CD⊥AP;
(2)解:在三角形ABC中,AB=,BC=1,∠B=120°,
可得AC=
1+1+2×1×1×
1
2
=
3
,
取AC中點(diǎn)M,連接PM,由于PA=PC=
6
2
,則PM⊥AC,
即有PM=
6
4
-
3
4
=
3
2
,
由于平面PAC⊥平面ABCD,則有PM⊥平面ABCD,
PM⊥BM,則PB=
3
4
+
1
4
=1,
過D作DH⊥平面PBC,垂足為H,連接CH,則∠DCH即為直線PD與平面PBC所成角.
由VP-BCD=VD-PBC,即有
1
3
PM•S△BCD=
1
3
DH•S△PBC,
即為
3
2
×
1
2
×1×1×
3
2
=DH
1
2
×
6
2
×
1-
6
16
,
解得,DH=
15
5
,
則有直線PD與平面PBC所成角的正弦值
DH
DC
=
15
5
點(diǎn)評(píng):本題考查面面垂直的性質(zhì)定理的運(yùn)用,考查直線和平面所成的角的求法,考查體積法求點(diǎn)到平面的距離,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={1,2,3,…,99,100}
從A中任取三個(gè)元素的子集
 
個(gè).
從A中任取三個(gè)元素相加,和為奇數(shù)的有
 
種.
從A中任取兩個(gè)元素相加,和是3的倍數(shù)有
 
種.
從A中任取兩個(gè)元素相加,和大于100的有
 
種.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

cos(-2040°)=(  )
A、
1
2
B、-
1
2
C、
3
2
D、-
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|-3.
(1)作出函數(shù)f(x)的大致圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[-2,4]上的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=cos2x-2sinx+1.
(1)若當(dāng)x∈R時(shí),求f(x)的最小值及相應(yīng)的值.
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=msinx+2m,且當(dāng)x∈[
π
6
,
3
]時(shí),f(x)>g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在正三角形ABC中,
內(nèi)切圓半徑
外接圓半徑
=
OD
OA
=
OD
AD-OD
=
OD
AD
1-
OD
AD
,而
OD
AD
=
S△OBC
S△ABC
=
1
3
,所以
內(nèi)切圓半徑
外接圓半徑
=
1
2
.應(yīng)用類比推理,在正四面體ABCD(每個(gè)面都是正三角形的四面體)中,
內(nèi)切球的半徑r
外接球的半徑R
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a1a5=64,S5-S3=48.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)于正整數(shù)k,m,l(k<m<l),求證:“m=k+1且l=k+3”是“5ak,am,al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件;
(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3•2n+1-4n-6,且集合M={n|
bn
an
≥λ,n∈N*}
中有且僅有3個(gè)元素,試求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若在矩形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則黃豆落在△ABE內(nèi)的概率為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某網(wǎng)站體育版塊足球欄目組發(fā)起了“射手的上一場(chǎng)進(jìn)球與本場(chǎng)進(jìn)球有無(wú)關(guān)系”的調(diào)查活動(dòng),在所有參與調(diào)查的人中,持“有關(guān)系”“無(wú)關(guān)系”“不知道”態(tài)度的人數(shù)如表所示:
有關(guān)系無(wú)關(guān)系不知道
人數(shù)500600900
(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取樣本,已知從持“有關(guān)系”態(tài)度的人中抽取了5人,求總樣本容量.
(2)持“有關(guān)系”態(tài)度的人中,40歲以下和40歲以上(含40歲)的比例為2:3,從抽取的5個(gè)樣本中,再任選2人作訪問,求至少1人在40歲以下的概率.

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