設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a1a5=64,S5-S3=48.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)于正整數(shù)k,m,l(k<m<l),求證:“m=k+1且l=k+3”是“5ak,am,al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件;
(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3•2n+1-4n-6,且集合M={n|
bn
an
≥λ,n∈N*}
中有且僅有3個(gè)元素,試求λ的取值范圍.
考點(diǎn):等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)先求出a3,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的定義求出公比q,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可;
(2)由充要條件的定義分別證明充分性、必要性,順序分類討論后分別利用等差數(shù)列的性質(zhì)和an進(jìn)行證明;
(3)由(1)化簡(jiǎn)a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3•2n+1-4n-6后,兩邊同乘以2再作差求出bn,注意驗(yàn)證n=1是否成立代入
bn
an
,利用作差判斷數(shù)列{
bn
an
}的單調(diào)性,再求出符合條件的λ的范圍.
解答: 解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q,
∵數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,∴a1a5=a32=64,解得a3=8,
又∵S5-S3=48,∴a4+a5=8q2+8q=48,解得q=2,
an=8•2n-3=2n;    …4分
(2)(。┍匾裕涸O(shè)5ak,am,al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列,
①若2•5ak=am+al,則10•2k=2m+2l,∴10=2m-k+2l-k,∴5=2m-k-1+2l-k-1
2m-k-1=1
2l-k-1=4
,∴
m=k+1
l=k+3
.…6分
②若2am=5ak+al,則2•2m=5•2k+2l,∴2m+1-k-2l-k=5,左邊為偶數(shù),等式不成立,
③若2al=5ak+am,同理也不成立,
綜合①②③,得m=k+1,l=k+3,所以必要性成立.…8分
(ⅱ)充分性:設(shè)m=k+1,l=k+3,
則5ak,am,al這三項(xiàng)為5ak,ak+1,ak+3,即5ak,2ak,8ak,
調(diào)整順序后易知2ak,5ak,8ak成等差數(shù)列,
所以充分性也成立.
綜合(。áⅲ,原命題成立.…10分
(3)因?yàn)?span id="xvzwslr" class="MathJye">a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3•2n+1-4n-6,
21bn+22bn-1+23bn-2+…+2nb1=3•2n+1-4n-6,①
∴當(dāng)n≥2時(shí),21bn-1+22bn-2+23bn-3+…+2n-1b1=3•2n-4n-2,②
則②式兩邊同乘以2,得22bn-1+23bn-2+24bn-3+…+2nb1=3•2n+1-8n-4,③
∴①-③,得2bn=4n-2,即bn=2n-1(n≥2),
又當(dāng)n=1時(shí),2b1=3•22-10=2,即b1=1,適合bn=2n-1(n≥2),
∴bn=2n-1.…14分
bn
an
=
2n-1
2n
,∴
bn
an
-
bn-1
an-1
=
2n-1
2n
-
2n-3
2n-1
=
5-2n
2n

∴n=2時(shí),
bn
an
-
bn-1
an-1
>0
,即
b2
a2
b1
a1

∴n≥3時(shí),
bn
an
-
bn-1
an-1
<0
,此時(shí){
bn
an
}
單調(diào)遞減,
b1
a1
=
1
2
,
b2
a2
=
3
4
b3
a3
=
5
8
,
b4
a4
=
7
16
,∴
7
16
<λ≤
1
2
.…16分
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性,考查分類討論思想的運(yùn)用,計(jì)算化簡(jiǎn)、變形能力與邏輯推理能力,屬于難題.
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-2x+a
2x+1+b
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6
2
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=
OA
OB
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等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足a1=2,b1=1,b2+S2=8,a5-2b2=a3
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令cn=
an,n為奇數(shù)
bn,n為偶數(shù)
,設(shè)數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Tn,求T2n

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5
2
>lnx+
lnx
x

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