Question

12．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（xy）+$\frac{1}{2}$-f（x）-f（y）=0，若一族平行線x=x_i（i=1，2，…，n）分別與y=f（x）圖象的交點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），且x_i，2f（1），x_n-i+1成等比數(shù)列，其中i=1，2，…，n，則$\frac{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}}{n}$=（　�。�

• A． 2n
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{n}{2}$

Answer 1

分析 利用x_i，2f（1），x_n-i+1成等比數(shù)列，得x_ix_n-i+1=1，f（x_i）+f（x_n-i+1）=f（x_ix_n-i+1）+$\frac{1}{2}$=1，求出2$\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}$=1+1+…+1=n，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∵x_i，2f（1），x_n-i+1成等比數(shù)列，
∴x_ix_n-i+1=1，
∴f（x_i）+f（x_n-i+1）=f（x_ix_n-i+1）+$\frac{1}{2}$=1，
∴2$\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}$=1+1+…+1=n，
∴$\frac{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}}{n}$=$\frac{1}{2}$　　
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．