Question

6．設(shè)a∈R，求關(guān)于x的不等式ax²-3x-1≥0（x＜0）的解集．

Answer 1

分析 對a和判別式進行討論求解即可．

解答 解：不等式ax²-3x-1≥0（x＜0），
當(dāng)a=0時，可得-3x-1≥0，解得：x$≤-\frac{1}{3}$．
∵△=9+4a，
當(dāng)a＞0時，△＞0，方程ax²-3x-1=0的兩個根：
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$＜0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$＞0，
不等式解集，（-∞，$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$]，
當(dāng)$-\frac{9}{4}$＜a＜0時，△＞0，方程ax²-3x-1=0的兩個根：
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$＜0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$＜0，
不等式解集（-∞，$\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$]∪[$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$，+∞）．
當(dāng)$-\frac{9}{4}$＞a時，△＜0，方程ax²-3x-1=0的兩個根：
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$＞0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$＞0，
不等式解集：∅，
當(dāng)$-\frac{9}{4}$=a時，△=0，方程ax²-3x-1=0的兩個相等根：
$x=\frac{3}{2a}$．
不等式解集：∅．
綜上可得：當(dāng)$-\frac{9}{4}$≥a時，不等式解集：∅．
當(dāng)$-\frac{9}{4}$＜a＜0時，不等式解集（-∞，$\frac{3+\sqrt{9+4a}}{2a}$]∪[$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$，+∞）．
當(dāng)a＞0時，不等式解集，（-∞，$\frac{3-\sqrt{9+4a}}{2a}$]．

點評 本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，討論思想的運用，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．