Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（1）求證：BC⊥PC；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：方法1：綜合法（I）要證BC⊥PC，只要證AC⊥BC，由勾股定理易證，根據三垂線定理，可得BC⊥PC；
（II）求點A到平面PBC的距離，即找過點A的面PBC的一條垂線段即可．
方法2：向量法：建系，寫出相關點的坐標，（I）要證BC⊥PC，只要證

BC

•

PC

=0；
（II）求點A到平面PBC的距離，即求

AB

在平面PBC的一個法向量上的投影的絕對值．

解答：解：方法1
（I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 AC=2

2

．
取AB的中點E，連接CE，
由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，
又 BE=

1

2

AB=2，所以 CE=

1

2

AB，
則△ABC為等腰直角三角形，
所以AC⊥BC，
又因為PA⊥平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內的射影，BC?平面ABCD，由三垂線定理得，BC⊥PC
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
過A點在平面PAC內作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，
則AF的長即為點A到平面PBC的距離，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2

2

，PC=2

3

，
所以 AF=

2 6

3

即點A到平面PBC的距離為

2 6

3

方法2
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系
∵PA=AD=DC=2，AB=4．
∴B（0，4，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2）
（I）∴

BC

=(2，-2，0)，

PC

=(2，2，-2)
∵

BC

•

PC

=0
∴

BC

⊥

PC

，即BC⊥PC
（II由∵

PB

=(0，4，-2)，

PC

=(2，2，-2)設面PBC法向量

m

=（a，b，c）
∴

m • PB =0 m • PC =0

∴

4b-2c=0 2a+2b-2c=0

設a=1，∴c=2，b=1∴

m

=（1，1，2）
∴點A到平面PBC的距離為 d=

| AB • m |

| m |

=

2 6

3

∴點A到平面PBC的距離為

2 6

3

點評：考查線面垂直的判定和性質定理，直線和平面所成角及點到面的距離．方法1綜合法，考查邏輯推理能力，方法2向量法注重考查計算能力，這兩種方法都體現了轉化的思想，屬中檔題．