Question

1．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn)．
①若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當(dāng)A、B運(yùn)動時(shí)，滿足于∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，請求出定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)，可得出橢圓半短軸的長，再由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，{a^2}={c^2}+{b^2}$，即可求出a的值，從而得出橢圓的方程；
（Ⅱ）①設(shè)直線AB的方程，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，通過消元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決，求出弦AB的長，進(jìn)而求出四邊形的面積函數(shù)，求出面積的最大值，
②．當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），將其與橢圓方程聯(lián)立整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，可得${x_1}+2=\frac{8（2k-3）k}{{3+4{k^2}}}$，同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得${x_2}+2=\frac{8k（2k+3）}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$，${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-4k}}{{{x_1}-{x_2}}}$，化簡即可求得AB的斜率為定值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)，可知$b=2\sqrt{3}$．
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，{a^2}={c^2}+{b^2}$，解得a=4，c=2，
∴橢圓C的方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（II）①解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，
得x²+tx+t²-12=0由△＞0，解得-4＜t＜4
由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=-t，{x_1}{x_2}={t^2}-12$． 
四邊形APBQ的面積$S=\frac{1}{2}×6×|{{x_1}-{x_2}}|=3\sqrt{48-3{t^2}}$
∴當(dāng)t=0，${S_{max}}=12\sqrt{3}$．
②解：當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k
則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y-3=k（x-2）…（1）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1…（2）\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，可得${x_1}+2=\frac{8（2k-3）k}{{3+4{k^2}}}$，
同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得${x_2}+2=\frac{8k（2k+3）}{{3+4{k^2}}}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$，
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-4k}}{{{x_1}-{x_2}}}$，將${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$代入，化簡可求得AB的斜率為$\frac{1}{2}$，是定值．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)以及拋物線的性質(zhì)，直線與橢圓的綜合問題，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程求出面積函數(shù)以及表示出AB的斜率，此類題有一特點(diǎn)即為將直線與橢圓聯(lián)立，解答中要注意全運(yùn)會本題中所蘊(yùn)含的規(guī)律．