Question

11．如圖1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，AD=6，DC=BC=3．過(guò)B作BE⊥AD于E，P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將△ABE沿BE向上折起，使平面AEB⊥平面BCDE．連結(jié)PA，PC，AC（如圖2）．
（Ⅰ）取線段AC的中點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使得PQ∥平面AEB？若存在，求出PD的長(zhǎng)；不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）當(dāng)EP=$\frac{2}{3}$ED時(shí)，求平面AEB和平面APC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行求解即可；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）存在．當(dāng)P為DE的中點(diǎn)時(shí)，滿足PQ∥平面AEB．…（1分）
取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，QM．

由Q為AC的中點(diǎn)，得MQ∥BC，且$MQ=\frac{1}{2}BC$，…（2分）
又PE∥BC，且$PE=\frac{1}{2}BC$，
所以PE∥MQ，PE=MQ，
所以四邊形PEMQ為平行四邊形，…（3分）
故ME∥PQ．…（4分）
又PQ?平面AEB，ME?平面AEB，
所以PQ∥平面AEB．   …（5分）
從而存在點(diǎn)P，使得PQ∥平面AEB，此時(shí)$PD=\frac{3}{2}$．…（6分）
（Ⅱ）由平面AEB⊥平面BCDE，交線為BE，且AE⊥BE，
所以AE⊥平面BCDE，又BE⊥DE，…（7分）
以E為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}，\overrightarrow{EA}$為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間
直角坐標(biāo)系（如圖2），則E（0，0，0），B（3，0，0），A（0，0，3），P（0，2，0），
C（3，3，0）．…（8分）
$\overrightarrow{PC}$=（3，1，0），$\overrightarrow{PA}$=（0，-2，3）．…（9分）
平面AEB的一個(gè)法向量為n₁=（0，1，0），…（10分）
設(shè)平面APC的法向量為n₂=（x，y，z），
由${t^2}+（\sqrt{3}-1）t-2=0$得$\left\{\begin{array}{l}3x+y=0\\-2y+3z=0.\end{array}\right.$…（11分）
取y=3，得n₂=（-1，3，2），…（12分）
所以$cos\left?{{n_1}，{n_2}}\right＞=\frac{3}{{\sqrt{14}•1}}=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$，
即面AEB和平面APC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．