Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長是a，PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）證明：PD⊥平面ABCD；
（2）求點A到平面PBD的距離；
（3）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）證明PD⊥平面ABCD，利用線面垂直的判定，證明PA⊥DA，PA⊥DC即可；
（2）設AC∩BD=O，證明AC⊥平面PBD，從而線段AO的長即為點A到平面PBD的距離；
（3）過點O作OE⊥PB于點E，連接AE，可證AEO是二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AEO中，可求二面角A-PB-D的大小為60°．

解答：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，邊長是a，PD=a，PA=PC=

2

a，
∴PA²=PD²+DA²，PC²=PD²+DC²，
∴PA⊥DA，PA⊥DC（2分）
∵DA∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD（3分）
（2）解：設AC∩BD=O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，（4分）
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC    
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD（5分）
∴線段AO的長即為點A到平面PBD的距離（6分）
∴AO=

1

2

AC=

2

2

a
∴點A到平面PBD的距離為

2

2

a（7分）
（3）解：過點O作OE⊥PB于點E，連接AE
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂線定理得AE⊥PB
∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角（9分）
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂線定理得PA⊥AB
在Rt△PAB中，PB= 

3

a，∴AE=

PA•AB

PB

=

6

3

（10分）
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=

AO

AE

=

3

2

（11分）
∴二面角A-PB-D的大小為60°（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查點到面的距離，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確作出面面角．