Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AB=5，AC=3，AD=2，求：BC的長及面積S_△ABC．

Answer 1

分析：設BD=CD=x，在三角形ABD與三角形ACD中，利用余弦定理分別表示出cos∠ADB與cos∠ADC，根據兩角互補，得到cos∠ADB+cos∠ADC=0，求出x的值，確定出BC的長，在三角形ABC中，利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，根據三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答：解：設BD=CD=x，
在△ABD和△ACD中，
cos∠ADB=

AD2+BD2-AB2

2AD•BD

，cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，即4+x²-25+4+x²-9=0，
解得：x=

13

，
∴BC=2

13

，
在△ABC中，cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

25+52-9

20 13

=

34 13

130

，
∴sinB=

1-cos2B

=

6 13

65

，
則S_△ABC=

1

2

AB•BC•sinB=6．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．