Question

已知向量

OP

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），

OQ

=（cosx，-1），定義f（x）=

OP

•

OQ

（1）求出f（x）的解析式．當x≥0時，它可以表示一個振動量，請指出其振幅，相位及初相．
（2）f（x）的圖象可由y=sinx的圖象怎樣變化得到？
（3）設(shè)x∈[-

3π

4

，

π

4

]時f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），求f^-1（

2

2

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過向量的數(shù)量積、二倍角公式、兩角和的正弦公式、化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出其振幅，相位及初相．
（2）利用左加右減的原則，通過左右平移，伸縮變換即可由y=sinx的圖象得到f（x）的圖象；
（3）根據(jù)反函數(shù)f（x）的性質(zhì)和條件得：

2

sin(x+

π

4

)=

2

2

，化簡得sin(x+

π

4

)=

1

2

，由x的范圍和特殊角的正弦值求出x的值，即f-1(

2

2

)的值．

解答： 解：（1）由題意得，f(x)=

OP

•；

OQ

=cosx（2cosx+1）-（cos2x-sinx+1）
=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴振幅為

2

，相位為x+

π

4

，初相為

π

4

；
（2）可由y=sinx圖象橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的

2

倍，
再把曲線上所有的點向左平移

π

4

個單位，即可得y=

2

sin(x+

π

4

)的圖象；
（3）由

2

sin(x+

π

4

)=

2

2

得，sin(x+

π

4

)=

1

2

，
∵-

3π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

2

≤x+

π

4

≤

π

2

，
∴x+

π

4

=

π

6

，解得x=-

π

12

，
則f-1(

2

2

)=-

π

12

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的運算，二倍角公式、兩角和的正弦公式，三角函數(shù)圖象的變換，以及反函數(shù)得性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力、轉(zhuǎn)化思想．