Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若不等式f（x）-m＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)恒成立問題,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）運用二倍角公式和誘導公式、以及和差公式，化簡三角函數(shù)式，再由周期公式，求出周期；
（2）由正弦函數(shù)的最值，即可得到；
（3）不等式f（x）-m＜2恒成立等價為m＞[f（x）-2]_max，由（2）即可得到．

解答： 解：（1）f(x)=1-cos[2(

π

4

+x)]-

3

cos2x
=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x+1=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+1=2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)+1=2sin(2x-

π

3

)+1．
因此函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）f（x）_max=2+1=3，f（x）_min=-2+1=-1．
（3）由不等式f（x）-m＜2，得m＞f（x）-2，
所以原問題轉化為不等式m＞f（x）-2恒成立，從而m＞[f（x）-2]_max，
由（2）得[f（x）-2]_max=f（x）_max-2=3-2=1．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和誘導公式、和差公式、二倍角公式的運用，考查三角函數(shù)的周期公式和最值，不等式恒成立問題轉化為求最值問題，屬于中檔題．