Question

邊長(zhǎng)為2等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且|BC|=3|BD|，|CA|=3|CE|，AD、BE相交于點(diǎn)P，則

PA

•

PC

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：因?yàn)橄蛄?span id="sg0usqk" class="MathJye">

BA

與

BC

的模長(zhǎng)和夾角已知，所以以向量

BA

與

BC

為一組基底，再用幾何性質(zhì)找到BP與BE的比例關(guān)系，結(jié)合向量加減法、數(shù)乘運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理，可以用基底將向量

PA

，

PC

表示出來，代入數(shù)量積公式，問題即可獲解．

解答： 解：過點(diǎn)E分別作E∥BC交AD于F，作EM∥AD交BC于M；
∵|BC|=3|BD|，|CA|=3|CE|，∴

EF

DC

=

AE

AC

=

2

3

，而

BD

DC

=

1

2

，
∴

BP

PE

=

BD

EF

=

3

4

，∴BP=

3

7

BE，
∴

BP

=

3

7

BE

=

3

7

(

BC

+

.

CE

)=

3

7

(

BC

+

1

3

CA

)=

3

7

(

BC

+

1

3

(

BA

-

BC

))=

1

7

BA

+

2

7

BC

，
∴

PC

=

BC

-

BP

=

5

7

BC

-

1

7

BA

，同理得：

PA

=

6

7

BA

-

2

7

BC

，
∴

PC

•

PA

=(

5

7

BC

-

1

7

BA

)•(

6

7

BA

-

2

7

BC

)=-

6

49

BA

2-

10

49

BC

2+

32

49

BA

•

BC

=-

6

49

×4-

10

49

×4+

32

49

×4×

1

2

=0
故答案為0．

點(diǎn)評(píng)：這道題重點(diǎn)考查平面向量基本定理的應(yīng)用，綜合考查了平面向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算等知識(shí)，當(dāng)然利用平面幾何知識(shí)找到BP與BE的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．