Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),基本不等式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：把所給的數(shù)列的三項(xiàng)之間的關(guān)系，寫出用第五項(xiàng)和公比來表示的形式，求出公比的值，整理所給的條件，寫出m，n之間的關(guān)系，用基本不等式得到最小值．

解答： 解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a1，
∴a_ma_n=4a₁²，
∴q^m+n-2=4，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

4

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

4

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

9

4

，
故答案為：

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式，實(shí)際上應(yīng)用基本不等式是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，注意當(dāng)兩個(gè)數(shù)字的和是定值，要求兩個(gè)變量的倒數(shù)之和的最小值時(shí)，要乘以兩個(gè)數(shù)字之和．