Question

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若對于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（3）若f（x）≤-2at+2對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x₁=m，x₂=-n，由已知可得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，分x₁＞x₂，及x₁＜x₂兩種情況可知f（x₁）與f（x₂）的大小，借助單調(diào)性的定義可得結論；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性可得去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式，再考慮到函數(shù)定義域可得不等式組，解出即可；
（3）要使得對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，只需對任意的a∈[-1，1]時-2at+2≥f（x）_max，整理后化為關于a的一次函數(shù)可得不等式組；

解答：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)：
證明：由題意可知，對于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
可設x₁=m，x₂=-n，則

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
當x₁＞x₂時，f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)；
當x₁＜x₂時，f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)；
綜上：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
又由f(x+

1

2

)＜f(1-x)，
得

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，解得0≤x＜

1

4

，
∴不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)的解集為{x|0≤x＜

1

4

}；
（3）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，且f（1）=1，
要使得對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，
只需對任意的a∈[-1，1]時-2at+2≥1，即-2at+1≥0恒成立，
令y=-2at+1，此時y可以看做a的一次函數(shù)，且在a∈[-1，1]時y≥0恒成立，
因此只需要

-2t+1≥0 2t+1≥0

，解得-

1

2

≤t≤

1

2

，
∴實數(shù)t的取值范圍為：-

1

2

≤t≤

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其綜合應用，考查抽象不等式的求解及恒成立問題，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力，利用函數(shù)性質去掉符號“f”是解決抽象不等式的關鍵．