Question

設(shè)P、Q是單位正方體AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．如圖：
（1）證明：PQ∥平面AA₁B₁B；
（2）求線段PQ的長．

Answer 1

（1）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)M，AA₁的中點(diǎn)為N，由單位正方體的性質(zhì)有QM∥A₁D₁ ，QM=

1

2

A₁D₁．
同理可證PN∥A₁D₁ ，PN=

1

2

A₁D₁．故QM和PN平行且相等，故QMNP為平行四邊形，∴PQ∥MN．
而MN?平面AA₁B₁B，PQ不在平面AA₁B₁B 內(nèi)，故PQ∥平面AA₁B₁B．
（2）在Rt△A₁MN 中，由勾股定理可得MN=

A1N2+A1M2

=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴PQ=

2

2

．