Question

13．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零點(diǎn)，則a的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 ①令x=y=0，則f（0）=2f（0），則f（0）=0；再令y=-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，可得f（x）是奇函數(shù)．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零點(diǎn)．f（-sinx-cos²x+3）在（0，π）上有解；根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解．x∈（0，π），sinx≠0；a=$\frac{-sinx-co{s}^{2}x+3}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$-1，令t=sinx，t∈（0，1]；則a=t+$\frac{2}{t}$-1；利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：①令x=y=0，則f（0）=2f（0），則f（0）=0；
再令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
且f（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴f（x）是奇函數(shù)．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零點(diǎn)．
∴f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=-f（sinx+cos²x-3）=f（-sinx-cos²x+3）在（0，π）上有解；
又∵函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
∴asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a=$\frac{-sinx-co{s}^{2}x+3}{sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$-1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
則a=t+$\frac{2}{t}$-1；
∵y=t+$\frac{2}{t}$，${y}^{′}=1-\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，因此函數(shù)y在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴a≥2．
故答案為：[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、三角函數(shù)求值、換元法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．