Question

已知正項(xiàng)數(shù)列a_n中，a₁=2，點(diǎn)(

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上，數(shù)列b_n中，點(diǎn)（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+3上，其中T_n是數(shù)列b_n的前項(xiàng)和．（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)(

an

，an+1)在函數(shù)y=x²+1的圖象上得到a_n+1-a_n=13所以a_n是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由點(diǎn)（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+3得到Tn=-

1

2

bn+3，再應(yīng)用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解．

解答：解：（1）由題意得：a_n+1=a_n+1?a_n+1-a_n=1
∴a_n是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴a_n=n+1
（2）由題意得：Tn=-

1

2

bn+3①
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1=-

1

2

bn-1+3②
①-②得：Tn-Tn-1=-

1

2

bn+

1

2

bn-1
bn=-

1

2

bn+

1

2

bn-1

bn

bn-1

=

1

3

∴bn=2•(

1

3

)n-1
∴Tn=-

1

2

×2×(

1

3

)n-1+3=-(

1

3

)n-1+3
∴b_n是以2為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題通過函數(shù)圖象與點(diǎn)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為橫縱坐標(biāo)間的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)列，來考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系．