Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+2ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為0，求a的值；
（3）若對(duì)于任意x≥0，f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f'（x）=ex+2a＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng) a＜0 時(shí)，f'（x）=ex+2a，

令 ex+2a=0，得x=ln（﹣2a），

所以，當(dāng)x∈（﹣∞，ln（﹣2a））時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln（﹣2a），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增

（2）解：由（1）可知，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ex+2ax＞0，不符合題意．

當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=ex+2a，

因?yàn)�，�?dāng)x∈（﹣∞，ln（﹣2a））時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（ln（﹣2a），+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

①當(dāng)ln（﹣2a）≤1，即 ≤a＜0時(shí)，f（x）最小值為f（1）=2a+e．

解2a+e=0，得a=﹣ ，符合題意．

②當(dāng)ln（﹣2a）＞1，即a＜﹣ 時(shí)，f（x）最小值為f（ln（﹣2a））=﹣2a+2aln（﹣2a）．

解﹣2a+2aln（﹣2a）=0，得a=﹣ ，不符合題意．

綜上，a=﹣

（3）解：構(gòu)建新函數(shù)g（x）=ex﹣e﹣x+2ax，g'（x）=ex+e﹣x+2a，

①當(dāng) 2a≥﹣2，即 a≥﹣1時(shí)，

因?yàn)?ex+e﹣x≥2，所以g'（x）≥0（且a=﹣1時(shí)，僅當(dāng)x=0時(shí)，g'（x）=0）

所以g（x）在R上單調(diào)遞增．

又g（0）=0，所以當(dāng)a≥﹣1時(shí)，對(duì)于任意x≥0都有g(shù)（x）≥0．

②當(dāng)a＜﹣1時(shí)，解ex+e﹣x+2a＜0，即（ex）2+2aex+1＜0，

得﹣a﹣ ＜ex＜ ，

其中0＜﹣a﹣ ＜1，﹣a+ ＞1

所以ln（﹣a﹣ ）＜x＜ln（﹣a+ ），

且ln（﹣a﹣ ）＜0，ln（﹣a+ ）＞0，

所以g（x）在（0，ln（﹣a+ ））上單調(diào)遞減，

又g（0）=0，所以存在x0∈（0，ln（﹣a+ ）），使得g（x0）＜0，不符合題意．

綜上，a的取值范圍為[﹣1，+∞）

【解析】本題屬于導(dǎo)數(shù)綜合題，屬難題．（1）對(duì)a分類討論，判斷f'（x）是否存在零點(diǎn)．若存在零點(diǎn)，根據(jù)f'（x）判斷f（x）的單調(diào)性；（2）根據(jù)第1題的分類討論情況，判斷f（x）的最小值點(diǎn)；然后根據(jù)f（x）min=0，求出a的值；（3）此題屬于導(dǎo)數(shù)恒成立問題，通常采購構(gòu)造新函數(shù)來求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．